II- 5 Analyse vectorielle :

- Opérateur « nabla »

On définit une grandeur vectorielle appelée « opérateur nabla » en coordonnées cartésiennes par :

∇ ⃗ = ( ∂ ∂ x ) i ⃗ + ( ∂ ∂ y ) j ⃗ + ( ∂ ∂ z ) k ⃗ , ∇ ⃗ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) vec nabla = ( { partial } over { partial x} ) widevec {i}+ ( { partial } over { partial y} ) widevec {j} + ( { partial } over { partial z} ) widevec {k}, widevec { nabla }= ( { partial } over { partial x}, { partial } over { partial y}, { partial } over { partial z} )

nabla peut agir sur des champs de vecteurs et sur des champs de scalaire

Opérateur « gradient »

Soit f(x, y, z) une fonction scalaire.

On appelle gradient de f noté ∇ ⃗ f ou grad ⃗ f de champ de vecteur suivant : On appelle gradient de f noté widevec { nabla }f ou widevec {grad}f de champ de vecteur suivant :
∇ ⃗ = ( ∂ f ∂ x ) i ⃗ + ( ∂ f ∂ y ) j ⃗ + ( ∂ f ∂ z ) k ⃗ widevec { nabla } = ( { partial f} over { partial x} ) widevec {i}+ ( { partial f} over { partial y} ) widevec {j} + ( { partial f} over { partial z} ) widevec {k}

- Opérateur « divergence »

Soit A ⃗ ( A x , A y , A z ) un champ de vecteurs , on appelle divergence A ⃗ la produit scalaire de l ' opérateur ∇ ⃗ par la champs de vectzur A ⃗ .. Soit widevec {A} ( A_{x}, A_{y}, A_{z}) un champ de vecteurs, on appelle divergence widevec {A} la produit scalaire de l'opérateur widevec { nabla } par la champs de vectzur widevec {A} ..
dive A ⃗ = ∇ ⃗ A ⃗ = ( ∂ A x ∂ x ) + ( ∂ A y ∂ y ) + ( ∂ A z ∂ z ) dive widevec {A} = widevec { nabla } widevec {A} = ( { partial A_{x}} over { partial x} )+ ( { partial A_{y}} over { partial y} )+ ( { partial A_{z}} over { partial z} )

Remarque

Le gradient (respectivement la divergence) peut être considéré comme un opérateur

qui transforme un champs de scalaires (respectivement de vecteurs) en un champs de vecteurs

(respectivement un champs de scalaires)

- Opérateur « rotationnel »

la retationnel d ' un champ de vecteur A ⃗ est défini comme ≤ produit vectoriel entre ∇ ⃗ et A ⃗ la retationnel d'un champ de vecteur widevec {A} est défini comme le produit vectoriel entre widevec { nabla } et widevec {A}
∇ ⃗ ∧ A ⃗ = rot ⃗ A ⃗ = | i ⃗ ∂ ∂ x A x j ⃗ ∂ ∂ y A y k ⃗ ∂ ∂ z A z | = ( ∂ ∂ y A z − ∂ ∂ z A y ) i ⃗ − ( ∂ ∂ x A z − ∂ ∂ z A x ) j ⃗ + ( ∂ ∂ x A y − ∂ ∂ y A x ) k ⃗ widevec { nabla } %and widevec {A}= widevec {rot} widevec {A}= left lline stack{ vec i # { partial } over { partial _{x}} # A_{x}} stack{ vec j # { partial } over { partial _{y}} # A_{y}} stack{ vec k # { partial } over { partial _{z}} # A_{z}} right rline = ( { partial } over { partial y} A_{z}- { partial } over { partial z} A_{y} ) widevec {i} - ( { partial } over { partial x} A_{z} - { partial } over { partial z} A_{x}) widevec {j} + ( { partial } over { partial x} A_{y} - { partial } over { partial y} A_{x}) widevec {k}

- Opérateur « Laplacien »

∇ ⃗ , ∇ ⃗ = Δ = ∇ 2 ⃗ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 widevec { nabla }, widevec { nabla }= %DELTA = widevec { nabla ^{2}}= { partial ^{2}} over { partial x^{2}} + { partial ^{2}} over { partial y^{2}}+ { partial ^{2}} over { partial z^{2}}
Δ A ⃗ = ∂ 2 ⃗ A ⃗ ∂ x 2 + ∂ 2 A ⃗ ∂ y 2 + ∂ 2 A ⃗ ∂ z 2 = champ de vecteurs %DELTA widevec {A}= { partial ^ widevec {2} { widevec {A} }} over { partial x^{2}}+ { partial ^{2} widevec {A} } over { partial y^{2}} + { partial ^{2} widevec {A} } over { partial z^{2}}=champ de vecteurs
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = champ de scalaire %DELTA f= { partial ^{2}f} over { partial x^{2}} + { partial ^{2}f} over { partial y^{2}} + { partial ^{2}f} over { partial z^{2}}= champ de scalaire

- Propriétés

grad ⃗ ( f + g ) = grad ⃗ f + grad ⃗ g vec grad (f+g)= vec grad f + vec grad g
grad ⃗ ( f . g ) = f grad ⃗ g + g grad ⃗ f vec grad( f.g )=f vec grad g+g vec grad f
divergence ( grad ⃗ f ) = Δ f nospace {divergence ( widevec {grad } f) } = %DELTA f
divergence ( rot ⃗ A ⃗ ) = 0 divergence ( vec rot vec A ) =0
divergence ( Δ A ⃗ ) = Δ ( divergence A ⃗ ) divergence ( %DELTA vec A )= %DELTA (divergence vec A )
divergence ( f A ⃗ ) = A ⃗ grad ⃗ f + f divergence A ⃗ divergence (f vec A ) = vec A vec grad f+ f divergence vec A
rot ⃗ ( grad ⃗ f ) = 0 vec rot ( vec grad f ) =0