II-4 Opérations sur les vecteurs

- La somme des vecteurs :

Soit deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1 et 𝑉⃗⃗⃗2 tel que :

𝑉⃗⃗⃗1 = (π‘₯1,y1) ; 𝑉⃗⃗⃗2 = (π‘₯2y2)

La somme de deux vecteurs est un autre vecteur 𝑆 = 𝑉⃗⃗⃗1 + 𝑉⃗⃗⃗2

Figure 4 : Somme de deux vecteurs
module de S βƒ— est calculé comme suit : S = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( y 1 + y 2 ) 2 module de vec S est calculé comme suit:S = sqrt{ ( x_{1}+ x_{2}) ^{2}+ { ( y_{1}+ y_{2}) } ^{2}}

Ou par les lois des cosinus :

S = V 1 2 + V 2 2 + 2 V 1 V 2 cos ( V 1 βƒ— , V 2 βƒ— ) S= sqrt{ V_{1}^{2}+ V^{2}_{2}+2 V_{1} V_{2}cos ( vec V_{1}, vec V_{2} ) }

- Propriétés :

Soit v 1 βƒ— , v 2 βƒ— et v 3 βƒ— , trois vecteurs , α , β et γ des scalaires Soit widevec { v_{1}}, widevec { v_{2}} et widevec { v_{3}}, trois vecteurs, %alpha , %beta et %gamma des scalaires

  • Commutativité :

v 1 βƒ— + v 2 βƒ— = v 2 βƒ— + v 1 βƒ— βƒ— widevec { v_{1}} + widevec { v_{2}} = widevec { v_{2}}+ widevec { widevec { v_{1}} }

  • Associativité :

v 1 βƒ— + ( v 2 βƒ— + v 3 βƒ— ) = ( v 1 βƒ— + v 2 βƒ— ) + v 3 βƒ— widevec { v_{1}}+ ( widevec { v_{2}} + widevec { v_{3}} )= ( widevec { v_{1}}+ widevec { v_{2}} ) + widevec { v_{3}}
α ( β , v 1 βƒ— ) = β ( α v 1 βƒ— ) = ( α , β ) , v 1 βƒ— %alpha ( %beta, widevec { v_{1}} )= %beta ( %alpha widevec { v_{1}} )= ( %alpha , %beta ), widevec { v_{1}}

  • Distributivité :

( α + β ) , v 1 βƒ— = α v 1 βƒ— + β v 1 βƒ— ( %alpha + %beta ) , widevec { v_{1}}= %alpha widevec { v_{1}} + %beta widevec { v_{1}}
α ( v 1 βƒ— + v 2 βƒ— ) = α v 1 βƒ— + α v 2 βƒ— %alpha ( widevec { v_{1}}+ widevec { v_{2}} )= %alpha widevec { v_{1}}+ %alpha widevec { v_{2}}

  • La somme d'un vecteur et de son opposé est nulle :

v βƒ— + ( − v βƒ— ) = 0 βƒ— widevec {v} + (- widevec {v} ) = widevec {0}

  • La différence de deux vecteurs :

v 1 βƒ— − v 2 βƒ— = v 1 βƒ— + ( − v 2 βƒ— ) ou ( − v 2 βƒ— ) vecteur opposé a v 2 βƒ— widevec { v_{1}}- widevec { v_{2}} = widevec { v_{1}}+ (- widevec { v_{2}} ) ou (- widevec { v_{2}} ) vecteur opposé a widevec { v_{2}}

- La soustraction des vecteurs :

La soustraction de deux vecteurs est un vecteur 𝐷⃗⃗ = 𝑉⃗⃗⃗1 − 𝑉⃗⃗⃗2

que l'on peut définir comme étant la somme du vecteur 𝑉⃗⃗⃗1 avec l'inverse du vecteur 𝑉⃗⃗⃗2 :

𝐷⃗⃗ = 𝑉⃗⃗⃗1 + (−𝑉⃗⃗⃗2).

Figure 5 :Soustraction de deux vecteurs
D βƒ— = ( x 1 − x 2 ) i βƒ— + ( y 1 − y 2 ) j βƒ— vec D = ( x_{1}- x_{2}) vec i+ ( y_{1}- y_{2}) vec j

On obtient le module de 𝐷⃗⃗ comme suit :

D = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 D = sqrt{ ( x_{1}- x_{2}) ^{2}+ ( y_{1}- y_{2}) ^{2} }
ou : D = V 1 2 + V 2 2 − 2 V 1 V 2 cos ( V 1 βƒ— , V 2 βƒ— ) ou: D = sqrt{ V_{1}^{2}+ V^{2}_{2}-2 V_{1} V_{2}cos ( vec V_{1}, vec V_{2} ) }

-Le produit scalaire entre deux vecteurs :

Le produit scalaire entre deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1 et 𝑉⃗⃗⃗2 donne une valeur scalaire.

V 1 βƒ— = ( x 1 y 1 ) ; V 2 βƒ— = ( x 2 y 2 ) vec V _{1}= left ( binom{ x_{1}}{ y_{1}} right ) ; vec V _{2} = left ( binom{ x_{2}}{ y_{2}} right )
V 1 βƒ— . V 2 βƒ— = V 1 V 2 cos ( V 1 βƒ— , V 2 βƒ— ) vec V_{1} . vec V _{2}= V_{1} V_{2} cos ( { vec V_{1} }, vec V _{2} )

Si 𝑉⃗⃗⃗1 est parallèle à 𝑉⃗⃗⃗2, donc cos (𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1, 𝑉⃗⃗⃗2) = 0 et le produit scalaire est nul 𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗2 = 0

Si 𝑉⃗⃗⃗1 est perpendiculaire à 𝑉⃗⃗⃗2, donc cos (𝑉⃗⃗⃗1, 𝑉⃗⃗⃗2) = 1 et le produit scalaire 𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1. 𝑉⃗⃗⃗2 = 𝑉1𝑉2

D'autre part :

V 1 βƒ— . V 2 βƒ— = ( x 1 i βƒ— + y 1 j βƒ— ) ( x 2 i βƒ— + y 2 j βƒ— ) vec V_{1} . vec V _{2}= ( x_{1} vec i+ y_{1} vec j ) ( x_{2} vec i+ y_{2} vec j )
V 1 βƒ— . V 2 βƒ— = x 1 x 2 i βƒ— i βƒ— + x 1 y 2 i βƒ— j βƒ— + x 2 y 1 j βƒ— i βƒ— + y 1 y 2 j βƒ— j βƒ— vec V_{1}. vec V _{2} = x_{1} x_{2} vec i vec i+ x_{1} y_{2} vec i vec j+ x_{2} y_{1} vec j vec i+ y_{1} y_{2} vec j vec j

Nous avons :

i βƒ— . j βƒ— = j βƒ— . i βƒ— = 0 et i βƒ— . i βƒ— = j βƒ— . j βƒ— = 1 vec i . vec j= vec j. vec i=0 et vec i. vec i= vec j. vec j=1

D'où :

𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗2 = π‘₯1π‘₯2 + 𝑦1𝑦2

-Propriétés du produit scalaire :

  • Le produit scalaire est commutatif : 𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗2 = 𝑉⃗⃗⃗2. 𝑉⃗⃗⃗1

  • Non associatif : 𝑉⃗⃗⃗1. ( ⃗⃗⃗𝑉⃗⃗⃗2. 𝑉⃗⃗⃗3) donne un vecteur

  • Distributif : 𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1. ( ⃗⃗⃗𝑉⃗⃗⃗2 + 𝑉⃗⃗⃗3) = (𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗2) + (𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗3)

Exemple

Soit deux vecteur 𝑉⃗⃗⃗1 = 2𝑖 + 3𝑗 − π‘˜βƒ— ,βƒ—βƒ— 𝑉⃗⃗⃗2 = 2𝑖 + 2𝑗 − π‘˜

Le produit scalaire 𝑉⃗⃗⃗1. 𝑉⃗⃗⃗2 = 4 + 6 + 1 = 11

- Le produit vectoriel entre deux vecteurs :

Le produit vectoriel entre deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1 et 𝑉⃗⃗⃗2 est un vecteur perpendiculaire au plan formé par ces deux vecteurs

π‘Šβƒ—βƒ—βƒ— = 𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2

Figure 6 : Produit vectoriel 𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1 × π‘‰ βƒ—βƒ—βƒ—2

La direction du vecteur π‘Šβƒ—βƒ—βƒ— est trouvée par la règle des trois doigts de la main droite.

Le module du vecteur π‘Šβƒ—βƒ—βƒ— est calculé comme suit : π‘Š = |𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2| = 𝑉1𝑉2 sin (𝑉⃗⃗⃗1, 𝑉⃗⃗⃗2)

Le module du vecteur W représente l'aire du parallélogramme (OABC) formé par les deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1βƒ— 𝑒𝑑⃗⃗𝑉⃗⃗⃗2 (figure 5)

Le produit vectoriel peut être calculé à partir de la méthode du déterminant :

Soit deux vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1βƒ— , ⃗⃗𝑉⃗⃗⃗2 telle que :

V 1 βƒ— = ( x 1 y 1 z 1 ) ; V 2 βƒ— = ( x 2 y 2 z 2 ) vec V_{1} = left ( stack{ x_{1} # y_{1} # z_{1}} right ); vec V_{2} = left ( stack{ x_{2} # y_{2} # z_{2}} right )
W βƒ— = V 1 βƒ— ∧ V 2 βƒ— = | i βƒ— x 1 x 2 j βƒ— y 1 y 2 k z 1 z 2 | = | y 1 y 2 z 1 z 2 | i βƒ— − | x 1 x 2 z 1 z 2 | j βƒ— + | x 1 x 2 y 1 y 2 | k βƒ— vec W= vec V_{1} %and vec V _{2} = left lline stack{ vec i # x_{1} # x_{2}} stack{ vec j # y_{1} # y_{2}} stack{k # z_{1} # z_{2}} right rline = left lline binom{ y_{1}}{ y_{2}} binom{ z_{1}}{ z_{2}} right rline vec i- left lline binom{ x_{1}}{ x_{2}} binom{ z_{1}}{ z_{2}} right rline vec j+ left lline binom{ x_{1}}{ x_{2}} binom{ y_{1}}{ y_{2}} right rline vec k
W βƒ— = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 ) i βƒ— − ( x 1 z 2 − z 1 x 2 ) j βƒ— ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) k βƒ— vec W= ( y_{1} z_{2}- z_{1} y_{2}) vec i- ( x_{1} z_{2}- z_{1} x_{2}) vec j ( x_{1} y_{2}- y_{1} x_{2}) vec k

À partir de cette relation, on peut calculer le module de π‘Šβƒ—βƒ—βƒ— par :

w = ( y 1 z 2 − z 1 y 2 ) 2 + ( x 1 z 2 − z 1 x 2 ) 2 + ( x 1 y 2 − y 1 x 2 ) 2 w = sqrt{ ( y_{1} z_{2}- z_{1} y_{2}) ^{2}+ ( x_{1} z_{2}- z_{1} x_{2}) ^{2} + ( x_{1} y_{2}- y_{1} x_{2}) ^{2} }

Remarque

i βƒ— ∧ i βƒ— = j βƒ— ∧ j βƒ— = k βƒ— ∧ k βƒ— = 0 βƒ— vec i %and vec i= vec j %and vec j= vec k %and vec k= vec 0
| i βƒ— ∧ j βƒ— | = | i βƒ— ∧ k βƒ— | = | j βƒ— ∧ k βƒ— | = 1 lline vec i %and vec j rline = lline vec i %and vec k rline= lline vec j %and vec k rline =1
i βƒ— ∧ j βƒ— = k βƒ— ; i βƒ— ∧ k βƒ— = j βƒ— ; j βƒ— ∧ k βƒ— = i βƒ— vec i %and vec j= vec k; vec i %and vec k= vec j; vec j %and vec k= vec i

- Propriétés du produit vectoriel :

  • Non commutatif : 𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2 = −𝑉⃗⃗⃗2 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—1

  • Non associatif : 𝑉⃗⃗⃗1Λ (𝑉⃗⃗⃗2 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—3) ≠ (𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2)Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—3

  • Distributif : 𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1 Λ (𝑉⃗⃗⃗2 + 𝑉⃗⃗⃗3) = (𝑉 βƒ—βƒ—βƒ—1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2) + (𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—3)

Exemple

Soit deux vecteurs ⃗⃗𝑉⃗⃗1 = 2𝑖 + 3𝑗 − 5π‘˜βƒ— ,βƒ—βƒ— 𝑉⃗⃗⃗2 = 2𝑖 + 2𝑗

Le produit vectorielle π‘Šβƒ—βƒ—βƒ— = 𝑉⃗⃗⃗1 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—2 est :

W βƒ— = V 1 βƒ— ∧ V 2 βƒ— = | i βƒ— 2 2 − j βƒ— 3 2 k βƒ— − 5 0 | = ( 0 + 10 ) i βƒ— − ( 0 + 10 ) j βƒ— + ( 4 − 6 ) k βƒ— vec W= vec V_{1} %and vec V_{2}= left lline stack{ widevec {i} # 2 # 2} stack{ widevec {-j} # 3 # 2} stack{ widevec {k} # -5 # 0} right rline = (0+10) vec i- (0+10) widevec {j}+ (4-6) widevec {k}
W βƒ— = 10 i βƒ— − 10 j βƒ— − 2 k βƒ— vec W=10 vec i-10 vec j-2 vec k

- Le produit mixte entre trois vecteurs

On définit le produit mixte entre trois vecteurs 𝑉⃗⃗⃗1 , 𝑉⃗⃗⃗2 𝑒𝑑 𝑉⃗⃗⃗3

V 1 βƒ— = ( x 1 y 1 z 1 ) ; V 2 βƒ— = ( x 2 y 2 z 2 ) ; V 3 βƒ— = ( x 3 y 3 z 3 ) vec V _{1} = left ( stack{ x_{1} # y_{1} # z_{1}} right ); vec V_{2}= left ( stack{ x_{2} # y_{2} # z_{2}} right ) ; vec V_{3}= left ( stack{ x_{3} # y_{3} # z_{3}} right )

par le scalaire 𝑉⃗⃗⃗1. (𝑉⃗⃗⃗2 Λ𝑉⃗⃗⃗3) qui est calculé par la méthode du déterminant tel que :

V 1 βƒ— . ( V 2 βƒ— ∧ V 3 βƒ— ) = | x 1 x 2 x 3 − y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 | vec V_{1}. ( vec V_{2} %and vec V_{3} ) = left lline stack{ x_{1} # x_{2} # x_{3}} stack{ -y_{1} # y_{2} # y_{3}} stack{ z_{1} # z_{2} # z_{3}} right rline
V 1 βƒ— . ( V 2 βƒ— ∧ V 3 βƒ— ) = ( y 2 z 3 − z 2 y 3 ) x 1 − ( x 2 z 3 − z 2 x 3 ) y 1 + ( x 2 y 3 − y 2 x 3 ) z 1 vec V_{1}. ( vec V_{2} %and vec V_{3} )= ( y_{2} z_{3}- z_{2} y_{3}) x_{1} - ( x_{2} z_{3}- z_{2} x_{3}) y_{1}+ ( x_{2} y_{3}- y_{2} x_{3}) z_{1}

Exemple

Soit trois vecteurs: 

V 1 βƒ— = 2 i βƒ— + 3 j βƒ— − k βƒ— ; V 2 βƒ— = 2 i βƒ— + 2 j βƒ— − k βƒ— ; V 3 βƒ— = i βƒ— + 2 j βƒ— vec V_{1} =2 vec i+3 vec j- vec k; vec V_{2}=2 vec i+2 vec j- vec k ; vec V_{3} = vec i+2 vec j

𝑉⃗⃗⃗1. (𝑉⃗⃗⃗2 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—3) = (2.0-2.(-1))2 - (2.0 - 1.(-1))3- (2.2-1.2)(-1)

𝑉⃗⃗⃗1. (𝑉⃗⃗⃗2 Λ π‘‰βƒ—βƒ—βƒ—3) = (2)2 − (1)3 + (2)(−1) = -1

- Moment d'un vecteur par rapport à un point

Le moment de vecteur 𝑉⃗⃗⃗1 par rapport au point A est défini par :

M A βƒ— ( V βƒ— ) = AB βƒ— ∧ V βƒ— vec M _{A} ( vec V )= vec AB %and vec V

Où B est un point quelconque de la ligne d'action de vecteur 𝑉⃗⃗⃗1

De par les propriétés du produit vectoriel, le vecteur moment est perpendiculaire à la fois au

vecteur 𝑉⃗⃗⃗ et au vecteur AB. Son sens est donné par la règle du tourne-vise.

Figure 7 : Moment d'un vecteur par rapport à un point

- Moment d'un vecteur par rapport à un axe :

Le moment d'un vecteur 𝑉⃗⃗⃗ par rapport à un axe orienté ( Δ) est défini par :

M u ( V βƒ— ) = u βƒ— M A βƒ— ( V βƒ— ) = u βƒ— . ( AB βƒ— ∧ V βƒ— ) M_{u} ( vec V )= vec u vec M_{A} ( vec V ) = vec u. ( vec AB %and vec V )

Où u est le vecteur unitaire de l'axe ( Δ).

Figure 8 :Moment d'un vecteur par rapport à un axe

Le moment d'un vecteur 𝑉⃗⃗⃗ par rapport à un axe, c'est donc une grandeur scalaire.