I-6. Équation aux dimensions

Une équation aux dimensions est une relation mathématique qui exprime la dimension d'une grandeur physique en fonction des dimensions des grandeurs fondamentales. Soit G une grandeur physique, sa dimension est notée [G].

Par exemple si G est une longueur ⇒ [G]=L.

Exemple

  • Équations aux dimensions de l'accélération :

x = 1 2 a t 2 ⇒ a = 2 x / t 2 ⇒ [ a ] = L T − 2 x= {1} over {2} a t^{2} drarrow a = 2x / t^{2} drarrow [a]=L T^{-2 }

  • Équations aux dimensions de la vitesse :

V = x / t ⇒ [ V ] = L T − 1 V = x / t drarrow [V] = L T^{-1}

  • Equations aux dimensions de la force :

F = ma ⇒ [ F ] = ML T − 2 F = ma drarrow [F] = ML T^{-2}

  • Equations aux dimensions de l'énergie :

E = 1 2 m V 2 ⇒ [ E ] = M L 2 T − 2 E= {1} over {2} m V^{2} drarrow [E] = M L^{2} T^{-2}

Remarque

On ne peut additionner entre elles que des grandeurs ayant la même dimension. Si dans une équation les dimensions des grandeurs dont on fait la somme ne sont pas identiques, cette équation est fausse.

Pour toute grandeur physique G :

[ G ] = L α M β T γ I λ [G]= L^{ %alpha } M^{ %beta } T^{ %gamma } I^{ %lambda }

c'est l'équation aux dimensions de G.

α, β, γ et λ sont des nombres rationnels positifs ou négatifs.

I-6-1. Utilité des équations aux dimensions

Les équations aux dimensions permettent de vérifier la cohérence des équations lors de calcul en physique. Une formule est homogène si les deux membres ont les mêmes dimensions. Cependant, il ne suffit pas qu'une équation soit homogène pour qu'elle soit juste. On ne peut additionner ni soustraire que les termes ayant les mêmes dimensions.

Remarque

Les fonctions exponentielles (exp(a/b)), logarithmique, trigonométrique, ainsi que les constantes et tout ce qui se trouve a l'intérieur de ces fonctions ont pour dimension la valeur 1

[ x ] = 1, [ α ] = 1, [ sin α ] = [ cos α ] = [ ln α ] = [ log α ] = [ tan α ] = [ e x ] = 1 [x]= 1, [ %alpha ] =1, [sin %alpha ]= [cos %alpha ] = [ln %alpha ]= [log %alpha ]= [tan %alpha ]= [ e^{x}]=1

I-6-2. Relation entre les unités

Les relations entre les unités des différents systèmes peuvent être facilement établies en utilisant les équations aux dimensions.

1-6-3.Règles sur les équations aux dimensions

G = x + y , alors [ G ] = [ x ] + [ y ] G =x+y , alors [G] = [x]+ [y]
G = x ∗ y , alors [ G ] = [ x ] ∗ [ y ] G=x*y , alors [G]= [x] * [y]
G = x − y , alors [ G ] = [ x ] = [ y ] G=x-y ,alors [G] = [x] = [y]
G = x n , alors [ G ] = [ x ] n G= x^{n} ,alors [G]= [x] ^{n}
G = x y , alors [ G ] = [ x ] [ y ] G= {x} over {y} , alors [G] = { [x] } over { [y] }